打雜工的窩 (Lynn)

線性代數共分四大單元：（1)向量空閒與子空間：(②)矩陣應用：(3)線性映射與基底變換：（4)正交投影與最佳近似。每個單元之間，都有很密切的關係，如何找一個入口，讓讀者悠遊於其中 ，感受線性代數的美妙，是一件不容易的事情。坊間補習班線性代數用書林立，大致分二類，第一類為傳統教授工程數學的教師，只介紹特徵值、特徵向量、對角化與 Cayley-Harmilton 定理，即侈言為線性代數， 而線性代數之精髓：子空閒的和與交、矩陣四大空間、正交投影與線性映射則付之闕如。第二類幾乎是翻譯本，將 Friedberg 所著之線代翻譯為中文，再加上一些歷屆試題，沒有屬於自己的思考邏輯與觀念闡述，只能要求同學死背定理與公式，往往滿腔的學習熱忱就這樣被抹殺掉。

很多同學對線性代數懷有恐懼感，那是因為不甚瞭解，觀念不清楚所致，只好以死背方式，背了很多計算題與證明題。讀者試著想一想，即使你運氣好，剛好背到考卷中的證明題，但卻有很多人，也是以背誦方式，證明過程和你完全相同，是否會被命題教授視為抄襲或作弊？所謂的證明題，即是將你的觀念表達出來，說服命題教授你的敘述是正確的即可。

線性代數研究的是向量空間的幾何性質，與不同向量空間之間的線性變換。在向量空間取定一組基底的情況下，抽象的線性映射就可以用具體的矩陣來表示，透過矩陣四大空間，可得知線性映射的值域與核，是否為一對一與onto；透過矩陣乘除，即可得知在不同基底下，映射矩陣的關係。於是，為了能唸通線性代數，需先了解矩陣的(1)基本運算：包含基本矩陣、LU 分解、OR

分解、Gram-Schmidt 正交化法與行列式；(2)四大空間：包含基底與生成集、子空間、子空間的和與交；(3)解方陣函數：包含對角化、Jordan form、Cayley-Hamilton 定理、最小多項式與二次型式之正負定。上述構成線性代數中的代數理論。

代數理論清楚後，再來瞭解線性代數的幾何理論。透過線性映射基本定義與映射代表矩陣，作雙向溝通來闡明線性映射的精髓「值域與核空間」，四大空間與線性映射的關係，再將代數理論中的聯立方程式，視為線性映射來闡述，這樣線性映射就會和矩陣理論緊密聯繫起來。透過代數的矩陣乘除，輕而易舉的描述不同基底下，線性映射的代表矩陣，在矩陣特徵向量當基底的情況下，線性映射代表矩陣為最簡單的型式，即對角化 or Jordan form。

最後融合幾何理論與代數理論，以線性映射法與方陣特徵值特徵向量法，雙向描迹正交投點、斜投黔、鏡射蛝旋轊矩陣，輕而易聖的求出上述矩陣及費性質，或者反向判斷隨意一個矩陣，是否為上述四種矩陣之一？若是，則鏡射or投影子空間為何？旋轉軸與旋轉角為何？上述作法，類似融合武俠小說中之少林武術與丐幫的降龍十八掌，必能讓讀者在線代武林中，達到至尊的境界。

「公式如藥，儘量少用，不得已要用，也應熟知該公式的涵意與使用條件，否則該公式即是毒藥。」秉持信念，本書強調對公式的徹底了解，並由相關的例題來加深對公式的體認，做到將公式無形化，而成為自己的潛能，絕對避免以死套公式方法來解決問題。學習線性代數沒有捷徑，唯有思考、理解與領悟而已。本書以此為原則，將線代很淺顯而井然有序的分章整理，秉持線性代數

白話的理念，必能讓讀者沒有任何壓力，無需背誦任何公式，輕鬆自在學習線代。

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